[알고리즘] 기타 그래프 이론
서로소 집합
* 공통원소가 없는 두 집합을 의미
* 두 종류의 연산을 지원
① 합집합(Union) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산.
② 찾기(Find) : 특정 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산.
=> 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조 라고도 불림.
* 여러개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정
① 합집합(Union)연산을 확인해, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인.
1) A와 B의 루트 노드 A', B' 각각 찾기
2) A'을 B'의 부모 노드로 설정
② 모든 합집합(Union)연산을 처리할때까지 1번 과정 반복.
* 서로소 집합 자료구조에서는 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있음.
* 기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없음. 재귀적으로 부모 테이블을 계속 확인해 거슬러 올라가는 형태.
<기본적인 구현 방법>
#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x): #parent부모테이블, x노드번호
#루트 노드를 찾을 때까지 재귀호출
if parent[x] != x : #현재 부모가 자기자신이 아니라면
return find_parent(parent, parent[x])
return x
#두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parnet, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a<b: #번호가 큰 쪽이 작은쪽을 부모로 설정
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
#노드의 개수와 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) #부모 테이블 초기화
#부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
#Union 연산을 각각수행
for i in range(e):
a,b = map(int(), input().split())
union_parent(parent, a, b)
#각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합 : ', end = '')
for i in ragne(1, v+1):
print(find_parent(parent, 1), end=' ')
print()
#부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블 : ', end=' ')
for i in range(1, v+1):
print(paren[i], end=' ')
=> 최악의 경우 시간 복잡도가 O(V)
<경로 압축 방법>
* 찾기(Find)함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용, 찾기 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신.
#특정 원소가 속한 집합찾기
def find_parent(parent, x):
#루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
서로소 집합을 활용한 사이클 판별
* 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서 사이클을 판별할때 사용 가능(방향성이 있을때는 사이클 여부는 DFS를 이용해 판별 가능)
*사이클 판별 알고리즘
① 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인
1) 루트 노드가 서로 다르면 두 노드에 대해 합집합(Union)연산을 수행.
2) 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것.
② 그래프에 포함되어있는 모든 간선에 대해 1번 과정 반복.
#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x): #parent부모테이블, x노드번호
#루트 노드를 찾을 때까지 재귀호출
if parent[x] != x : #현재 부모가 자기자신이 아니라면
parent[x] = find_parent(parnet, parent[x])
return parent[x]
#두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parnet, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a<b: #번호가 큰 쪽이 작은쪽을 부모로 설정
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
#노드의 개수와 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) #부모 테이블 초기화
#부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
cycle = False #사이클 발생여부
for i in range(e): #모든 간선을 한번씩 확인
a, b = map(int, input().split())
#사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b): #두 원소가 이미 같은 집합에 속해있다면
cycle = True
break
#사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union)연산 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle :
print("사이클발생")
else:
print("사이클 미발생")
신장트리
* 신장트리란 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지않는 부분 그래프를 의미
* 예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 하는 경우(최소신장트리)
<크루스칼 알고리즘>
* 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
* 그리디 알고리즘으로 분류
* 동작과정
① 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
② 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
1) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함
2) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않음
③ 모든 간선에 대해 2번 과정 반복
=> 최소 신장 트리에 포함되어있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당한다.
#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x): #parent부모테이블, x노드번호
#루트 노드를 찾을 때까지 재귀호출
if parent[x] != x : #현재 부모가 자기자신이 아니라면
parent[x] = find_parent(parnet, parent[x])
return parent[x]
#두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parnet, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a<b: #번호가 큰 쪽이 작은쪽을 부모로 설정
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
#노드의 개수와 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) #부모 테이블 초기화
#부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
#모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
#모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a,b,cost = map(int, input().split())
#비용순으로 정렬하기 위해 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
#간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
#간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
#사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)=> 크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E일때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가짐. 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)이다.
위상 정렬
* 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열.
* 교육 커리큘럼을 예시로 들 수 있음.
* 진입차수(Indegree) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
* 진출차수(Outdegree) : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수
* 큐를 이용하는 위상정렬 알고리즘의 동작 과정
① 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣음
② 큐가 빌 때까지 다음 과정 반복
1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
=> 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같음.
* 특징
① 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있음(Direct Acyclic Graph : 순환하지 않는 방향 그래프)
② 위상 정렬은 여러 가지 답이 존재할 수 있음.
③ 모든 원소를 방문하기 전, 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단가능.
④ 스택을 활용한 DFS를 이용해서도 위상 정렬을 수행할 수 도 있음.
...들여쓰기 유의
from collections import deque
#노드, 간선 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
#모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v+1)
#각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
#방향그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) #정점 A에서 B로 이동 가능
#진입차수 1 증가
indegree[b] += 1
#위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] #알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() #큐 기능을 위한 deque 라이브러리
#처음 시작 시 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v+1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
#큐가 빌 때까지 반복
while q:
#큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
#해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
#새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0 :
q.append(i)
#위상 정렬을 수행한 결과 출력
#for i in result :
# print(i, end=' ')
print(result)
topology_sort()
=> 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V+E)이다.
이코테 2021 강의를 듣고 정리한 내용이다 유튜브에서 무료로 수강가능하다.